El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. este siglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el más revolucionario de la historia de la Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo.
El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 60-70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A finales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se separaron de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos que tienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas:
En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines.
En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto, produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.
La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo
de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato
del análisis matemático.
Álgebra Moderna: El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental.
Teoría General de las Ecuaciones
algebraicas: Este fue el problema fundamental del álgebra
durante el siglo XIX, entendiéndose como la búsqueda de las
raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y
la operación de la extracción de la raíz.
En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos
el concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos
en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a
la demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones
de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra
siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la
búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0
y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años
más tarde demostraba el teorema fundamental del álgebra, dando
en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera
formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes.
para la demostración de este teorema necesitó construir los
campos de desarrollo de los polinomios.
Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es
la demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones
de quinto grado. Por este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones
a finales del siglo XVIII, pero el primer éxito real lo obtuvo Niels
Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones fundamentales
en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó
una serie de funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas.
Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de
las ecuaciones con coeficientes numéricos. Sin embargo, la solución
a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois.
El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son
resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas.El aparato
algebraico introducido tuvo, sin embargo, una significación que
salía de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de
la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos
de la estructura de los grupos de un número finito de sustituciones,
fue la base fructífera del álgebra moderna. la teoría
actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja
y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las
propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.
Teoría de Grupos: Galois y Ruffini
introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad
del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel
auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas,
formándose, predominantemente, la teoría de los grupos finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros,
comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo.
este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos
de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría
de grupos finitos en su aplicación a la teoría de números,
teoría de funciones y geometría algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría
de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la
clasificación de todas las redes cristalinas espaciales gracias a
los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen
los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de
los espacios multidimensionales en relación con la teoría de
los poliedros regulares en éstos. Posteriormente se planteó
la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos
y también sobre la creación de un aparato de cálculo
adaptado a las necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales
sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F.
Klein y S. Lie.
En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se
ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra
actual. Ella se compone de una serie de teorías altamente desarrolladas:
los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos,
entre ellos los grupos de Lie.
Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de
disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de
De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica
y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la
física moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos,
en particular en la teoría de la representación de grupos por
operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas
por Cartan, H. Weyl y otros científicos. Pasó medio siglo desde
los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las
investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de grupos,
subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo
de las matemáticas modernas.
Álgebra Lineal: La historia del
álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos
a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría
de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría
de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron
investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de
las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría
de las formas que encontró aplicación además de en el
álgebra, en la teoría de números, la geometría
diferencial, la geometría algebraica y la
mecánica.
Análisis Matemático: El análisis matemático, hacia el siglo XIX se convirtió en un sistema de disciplinas ramificado y siguió ocupando un lugar central en las matemáticas. El flujo inagotable de nuevos resultados teóricos y el campo de aplicaciones el cual se amplía continuamente, condicionaron el que en la estructura general de las matemáticas ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas analíticas.
Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el medio operativo fundamental
del análisis. El aparato del análisis matemático en
este siglo era un conjunto de procedimientos y métodos de solución
de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos
métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos
en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría
de ecuaciones diferenciales que rápidamente se independizaba de este
último. Los contornos de la teoría en formación de funciones
de variable compleja, la teoría de las funciones especiales... se
delineaban aun lentamente.
Teoría de Límites: Uno de los
lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de límite.
Sobre él se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales.
los matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos
para fundamentar el análisis infinitesimal, pero la insatisfactorio
de casi todos estos métodos se hizo rápidamente evidente.
A finales del siglo XVIII y principios del XIX era más que evidente
la necesidad de costrucción de la teoría de límites
como base del análisis matemático y una reconstrucción
radical de este último. Este proceso de reconstrucción se
reveló claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo
en los trabajos de Agustín-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias,
las cuales fueron publicadas en tres libros: "Curso de análisis" (1821);
"Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales" (1823)
y "Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría"
(dos tomos 1826,1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque
en ellos por primera vez, el análisis matemático se construye
sucesivamente sobre la teoría de límites. El primero de los
libros está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto
de variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas.
Asimismo se introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una
variable cuyo límite es igual a cero. Expuso también la
cuestión de la convergencia de las series, así como sus criterios
de convergencia. En el segundo de los libros se expone el cálculo
diferencial e integral de función de variable real, destacando la
aparición de una demostración analítica de existencia
de integral definida de una función continua.
Teoría de Funciones: En la primera
mitad de siglo se realizó una investigación profunda de los
fundamentos del análisis matemático, utilizando los métodos
y resultados de la teoría de conjuntos y la teoría de funciones
de variable real.
Los méritos principales en este rama, corresponden a Bernard Bolzano,
aunque sus resultados fundamentales vieran la luz después de su muerte.
ya en 1817, Bolzano formuló y demostró el teorema de que si
un conjunto de números reales está acotado entonces tiene extremo,
adelantándose en cuarenta años a Weierstrass.
Igualmente se adelantó a Cauchy en el estudio del criterio de convergencia
de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones.
Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y
demostró en relación con éstas una serie de notables
teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función
continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su
mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el
método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras
funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún
punto y conocida actualmente como función de Bolzano. En otra de sus
obras "Paradoja del Infinito" encontramos las bases de la posterior teoría
de conjuntos.
Teorías de Número Real y Teoría
de Conjuntos: En el año 1872 surgieron una serie de trabajos,
escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray
cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa
al número real, problema éste considerado vital para una correcta
fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura
en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los
números reales una interpretación geométrica en forma
de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una
sucesión convergente de números racionales. La creación
de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos
pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no
equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante
los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la
teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto,
el concepto de punto límite, de conjunto derivado...
La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones
y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados
constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos. Las
cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto
con la investigación de los límites de su aplicación
se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la "lógica
matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos
de las matemáticas modernas.
El campo de aplicación del análisis matemático creció
rápidamente merced a un sin fin de investigadores de los métodos
matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes,
Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la
creación del aparato analítico para la investigación
de los fenómenos electromagnéticos, la teoría
matemática de la conductividad del calor, o la construcción
del aparato matemático de la nueva
mecánica.
Teoría de las
funciones de Variable Compleja: La teoría actual
de las funciones de variable compleja abarca un amplio dominio de las
matemáticas, haciéndose difícil enumerar todas sus
ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta
este momento.
El concepto de número imaginario y después complejo se
conocía desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el
conjunto de operaciones.
Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa,
un conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en
diversas ramas de la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia
se entremezclaban sin la formulación de una concepción única.
En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general
de las funciones de variable compleja. Esta etapa de la historia, ya en el
siglo XIX, se caracterizó por la introducción de definiciones
precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trató del
surgimiento de las interpretaciones geométricas del concepto de
número complejo.
Un tratamiento teórico lo suficientemente general de la cuestión
surgió inicialmente, en los trabajos de Gauss y después en
los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo sobre la teoría
de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación
teórica y la interpretación geométrica de los números
complejos, dándoles por primera vez la denominación que se
ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al
astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada
en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios,
la definición de integral en el plano complejo, el teorema integral,
(conocido actualmente como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una
función analítica en series de potencias. de estos aspectos
merece especial atención la integración en el plano complejo,
ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos
de integrales definidas difíciles ejerció una grandísima
influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable
compleja.
Laplace acudió a la interpretación en variable compleja,
desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales
en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominación de
transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares, permitieron
resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia,
hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre
otros. Fue precisamente esta presión de los problemas prácticos,
lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de funciones
de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes
del análisis infinitesimal.
El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy.
Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar
las magnitudes imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando
el teorema integral. Durante los años siguientes 1826-1829 creó
la teoría de los residuos, desarrollándola en años
posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy
surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable compleja,
entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y
Liouville.
Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas
sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de
B. Rieman (1826-1866) en los cuales aparecían amplias analogías
que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas.
Los resultados fundamentales de Rieman aparecen en sus obras "Fundamentos
de la teoría general de funciones de variable compleja" (1851) y en
"Teoría de las funciones de Abel" (1857). Entre los problemas analizados
por Rieman citaremos el de en qué medida las funciones analíticas
se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo
fue la interpretación geométrica de los números complejos
y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas
"superficies de Rieman". también investigó diversas clases
de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Rieman surgieron gran
cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la
teoría de funciones de variable compleja.
Otra dirección en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja, denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815-1897), quien elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos fundamentales.
Así, en este época, la mayoría de las investigaciones
sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres
direcciones: la teoría de las funciones diferenciales de Cauchy, las
ideas geométricas y físicas de Rieman y la dirección
analítica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos del
siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción
única general de la teoría de funciones de variable
compleja.
Transformación de la
Geometría: La geometría hacia comienzos
del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas
del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales
de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la
geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo
y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia
las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda
del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización
de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que
conllevó relaciones estables con el análisis matemático
y con numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que
se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo
con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones.
De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen
el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría
proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde
la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las
figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los
años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la
geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las
geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de
esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski
(1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos
fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática,
pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus
ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría
no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración
durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho
axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo
dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido
en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo
plano que la primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta
geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año
cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva
teoría. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma
conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el
mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública,
los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos
puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación
científica. La geometría no euclideana continuó siendo
durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática,
hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones
extraordinariamente generales de
Rieman.
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