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WIRIS Índice / Polinomios. Teorema del Resto

Operaciones con polinomios

Se efectúan operaciones combinadas con polinomios sin más que escribirlas tal cual y pulsando el botón de calcular: igual (1K) El resultado se obtiene lo más reducido que al programa le sea posible.
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Para resolver el siguiente ejercicio ten en cuenta que el icono de corchete ico_corchete, de la barra de operaciones, se utiliza para definir vectores y no para contener paréntesis.
Así, en el ejercicio, el corchete lo debes sustituir por otro paréntesis. Recuerda también que el signo de producto es el asterisco (*).

Ejercicio 1

Efectúa las operaciones y reduce todo lo posible el resultado:
Eqn2 (1K)

División de polinomios

Los polinomios C(x) y R(x), que llamamos polinomio cociente y polinomio resto, respectivamente, verifican que:
eqn#1 (1K)

Wiris puede calcular el cociente y el resto de una división de polinomios mediante el icono de la etiqueta Operaciones "División euclidiana" icono_divis (1K) También pueden utilizarse los comandos cociente, resto y cociente_y_residuo.

Consulta la información sobre estos comandos en el índice alfabético de la ayuda de Wiris. Para ello hay que pulsar el icono ayuda (1K) de la etiqueta Edición. Después pulsar en el enlace Índice alfabético y luego, en la parte superior de la ventana que sale, pulsar en la letra que se quiera:
ayu_indice2 (4K)

Ejercicio 2

Efectúa la división:  ( 8x3 − 4x2 + 7 ) : ( 2x2 + x − 1 )

Ejercicio 3

Halla el polinomio por el que hay que dividir a  x4 − x3 − 4x2 + x − 2  para que el cociente sea  x2 + x − 3  y el resto  − 6x + 1

Teorema del resto

El valor numérico de un polinomio P(x), para x = a, coincide con el resto de la división
P(x) : ( x − a )

El valor numérico de un polinomio, para un determinado valor de x, puede obtenerse mediante el comando evaluar. Por ejemplo, para calcular el valor numérico de x3 − 1 para x = −1:
img12_3

También se puede, primero definir el polinomio P(x) como si fuera una función y pulsar Intro; luego, dentro del mismo bloque de expresiones, dar a la x el valor que se quiera:
img14_3 (2K)
Al pulsar el signo = se tendrá:
img13_3

Ejercicio 4

Calcula el valor numérico de x3 − 3x2 + x + 2  para x = 3

  1. Utilizando la definición de valor numérico.
  2. Mediante el teorema del resto.

Ejercicio 5

Calcula el resto de la división de x51 + 51 entre ( x + 1 ). Utiliza el teorema del resto.

Ejercicio resuelto

Obtén el valor de m para que la división tenga de resto 2:
( x5 + 6x3 + mx +17 ) ÷ (x + 1)

  1. Se define el polinomio y se le llama P(x). Hay que poner un signo de producto (asterisco) entre la m y la x. Si no se pone, el programa consideraría la expresión "mx" como una variable no definida. (La expresion "6x" sí es interpretada como el producto 6*x).
    img4_3 (3K)
  2. A continuación, empleando el comando resolver_eq (2K) de la barra de herramientas Operaciones, se plantea la ecuación: "el valor numérico del polinomio, para x =−1, es igual al resto de su división entre x + 1, que es 2"
    img4a_3 (5K)
  3. Pulsando el signo = se resolverá la ecuación y se tendrá el valor de m
    img4b_3 (8K)

Ejercicio 6

Sea P(x) = 3x3 − ax2 − bx + 1 un polinomio que cuando lo dividimos por x + 2 obtenemos de resto 3 y es divisible por x − 1. Calcula a y b, completando con estos resultados el polinomio.

Para resolver este ejercicio debes emplear el comando resolv_siste (2K)

Raíces de un polinomio

Un número a es raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para x = a es 0.

Propiedades de las raíces

  • Para que un número entero a sea raíz de un polinomio, es necesario que sea divisor de su término independiente.
  • El número de raíces de un polinomio es siempre menor o igual que su grado.

Ejercicio resuelto

Pueden calcularse las raíces enteras del polinomio  x2 + 2x − 3 de la siguiente manera:

  1. Se calculan los divisores del término independiente con el comando divisores. Consulta la ayuda de Wiris. Este comando admite la siguiente forma:
    img1_3 (4K)
  2. Para cada divisor 'a' se calcula el resto de la división del polinomio entre x − a
    img2_3 (10K)
  3. Según el teorema del resto, los valores numéricos del polinomio para los valores x = 1 y x = − 3 son 0. Por tanto las raíces son 1 y − 3

Directamente, se puede usar el comando raíces. Comprobamos el resultado anterior:
img5_3 (3K)

Ejercicio 7

Siguiendo el procedimiento explicado antes, calcula las raíces de x4 − 9x3 + 26x2 − 24x
Ten en cuenta que previamente debe sacarse factor común x, por lo que también tiene la raíz x = 0

Factorizar un polinomio

Vamos a factorizar el polinomio x3 − 4x2 + x + 6

  1. Se calculan los divisores del término independiente 6:
    img6_3 (5K)
  2. Por cada divisor 'a' se calcula el cociente y el resto de la división del polinomio entre x − a, hasta que salga 0 en el resto.
    img7_3 (11K)
    La división entre x + 1 ha dado de cociente x2 − 5x + 6 y resto 0. Se puede poner:
    Dividendo = Divisor · Cociente → x3 − 4x2 + x + 6 = (x + 1)(x2 − 5x + 6)
  3. Se repite el procedimiento para x2 − 5x + 6, comenzando desde la división entre x + 1
    img8_3 (10K)
    La división de x2 − 5x + 6 entre x − 2 ha dado de cociente x − 3 y de resto 0
    Se pone x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
  4. Ya se tiene:  x3 − 4x2 + x + 6 = (x + 1)(x2 − 5x + 6) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)

Directamente, se puede utilizar el comando factorizar. Comprobamos el resultado anterior. img9_3 (5K)

Ejercicio 8

Empleando el procedimiento explicado, factoriza el polinomio: x4 − 3x3 − 25x2 − 21x
Ten en cuenta que como el término independiente es cero, antes que nada hay que sacar factor común x.

¿Cómo se calcula un polinomio, conociendo sus raíces?

El polinomio cuyas raíces son 1, 1, 2 y −3, y su coeficiente de mayor grado es 5, es:
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Ejercicio 9

Encuentra el polinomio de tercer grado que tiene de coeficiente de mayor grado 1 y sus raíces son: x = −1,  x = √2  y  x = −√2

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